✅作者简介热爱科研的Matlab仿真开发者擅长毕业设计辅导、数学建模、数据处理、建模仿真、程序设计、完整代码获取、论文复现及科研仿真。 往期回顾关注个人主页Matlab科研工作室 关注我领取海量matlab电子书和数学建模资料个人信条格物致知,完整Matlab代码获取及仿真咨询内容私信。 内容介绍一、多变量回归预测概述多变量回归的定义与应用多变量回归旨在建立一个数学模型用于预测一个因变量输出如何随着多个自变量输入的变化而变化。在实际应用中这种预测方法极为重要。例如在气象领域通过温度、湿度、气压等多个气象要素自变量来预测降雨量因变量在金融领域依据利率、通货膨胀率、市场指数等多个因素预测股票价格。多变量回归帮助我们理解多个因素对目标变量的综合影响从而做出更准确的预测和决策。传统多变量回归方法的局限传统的多变量回归方法如线性回归及其变体依赖于对数据分布和变量关系的特定假设。这些方法假设变量之间存在线性关系并且数据噪声符合特定的统计分布。然而在许多现实场景中变量之间的关系往往是非线性的而且数据噪声也并非总是符合假设的分布。这使得传统方法在处理复杂数据时表现不佳预测精度受限。二、物理信息神经网络PINN基础神经网络简介神经网络是一种模仿生物神经网络结构和功能的计算模型由大量的神经元节点相互连接组成。它能够通过学习数据中的模式来执行各种任务如分类、回归等。在多变量回归预测中神经网络可以自动学习输入变量和输出变量之间的复杂非线性关系而无需预先假设这种关系的形式。物理信息神经网络的独特之处物理信息神经网络PINN在传统神经网络的基础上融入了物理规律和先验知识。在许多实际问题中物理定律或领域知识对变量之间的关系提供了重要的约束。例如在流体力学中Navier - Stokes 方程描述了流体的运动规律在热传导问题中傅里叶定律刻画了热量传递的方式。PINN 将这些物理定律以数学方程的形式嵌入到神经网络的训练过程中使得神经网络不仅从数据中学习还遵循物理规律从而提高模型的准确性和泛化能力。三、基于 PINN 的多变量回归预测原理网络架构与输入输出对于多输入单输出的 PINN 模型网络的输入层接收多个自变量即多变量回归中的多个输入变量。这些输入经过一系列隐藏层的非线性变换最终在输出层产生一个预测值即目标因变量的预测结果。隐藏层中的神经元通过权重和偏置与前后层神经元相连权重和偏置在训练过程中不断调整以优化网络的预测性能。物理信息的融入将物理定律转化为数学方程并将其作为额外的损失项加入到神经网络的训练目标函数中。例如在一个涉及热传递的多变量回归预测问题中傅里叶定律可以表示为一个关于温度随空间和时间变化的偏微分方程。通过数值方法如有限差分法将这个偏微分方程离散化然后计算预测值与物理方程约束之间的差异将这个差异作为损失的一部分。这样在训练过程中神经网络不仅要最小化预测值与实际观测值之间的误差传统的回归损失还要满足物理方程的约束从而使预测结果既符合数据特征又遵循物理规律。训练过程PINN 的训练过程通常采用梯度下降算法。通过不断调整神经网络的权重和偏置使总损失包括数据拟合损失和物理约束损失最小化。在每次迭代中计算损失函数关于权重和偏置的梯度然后根据梯度的方向更新权重和偏置逐步优化模型。随着训练的进行神经网络逐渐学习到输入变量与输出变量之间的关系并在物理规律的约束下提高预测的准确性。这种结合物理信息的训练方式使得 PINN 在处理多变量回归预测问题时能够更好地泛化到未见过的数据尤其是在数据有限或噪声较大的情况下展现出优于传统方法的性能。⛳️ 运行结果 部分代码function fitness evaluateFitness(positions, GTpose)% positions: [N×D] array of candidate poses% GTpose : [1×D] ground-truth pose[N, ~] size(positions);joints numel(GTpose)/3;fitness zeros(N,1);for i 1:Ncand3 reshape(positions(i,:), 3, []); % [joints×3]gt3 reshape(GTpose, 3, []); % [joints×3]d sqrt(sum((cand3 - gt3).^2, 2)); % per-joint distancefitness(i) sum(d.^2); % sum of squared errorsendend 参考文献[1]石教炜,孙世岩.基于物理信息神经网络的多重积分求解方法[J].海军工程大学学报, 2024, 000(5):6.DOI:10.7495/j.issn.1009-3486.2024.05.014.[1]王宇,李岳,张书锋.SA-PINN:一种用于小样本多轴疲劳寿命预测的自注意力增强型物理信息神经网络[C]//中国力学大会-2025摘要集第三册.2025.更多创新智能优化算法模型和应用场景可扫描关注1.机器学习/深度学习类BP、SVM、RVM、DBN、LSSVM、ELM、KELM、HKELM、DELM、RELM、DHKELM、RF、SAE、LSTM、BiLSTM、GRU、BiGRU、PNN、CNN、XGBoost、LightGBM、TCN、BiTCN、ESN、Transformer、模糊小波神经网络、宽度学习等等均可~方向涵盖风电预测、光伏预测、电池寿命预测、辐射源识别、交通流预测、负荷预测、股价预测、PM2.5浓度预测、电池健康状态预测、用电量预测、水体光学参数反演、NLOS信号识别、地铁停车精准预测、变压器故障诊断2.组合预测类CNN/TCN/BiTCN/DBN/Transformer/Adaboost结合SVM、RVM、ELM、LSTM、BiLSTM、GRU、BiGRU、Attention机制类等均可可任意搭配非常新颖~3.分解类EMD、EEMD、VMD、REMD、FEEMD、TVFEMD、CEEMDAN、ICEEMDAN、SVMD、FMD、JMD等分解模型均可~4.路径规划类旅行商问题TSP、车辆路径问题VRP、MVRP、CVRP、VRPTW等、无人机三维路径规划、无人机协同、无人机编队、机器人路径规划、栅格地图路径规划、多式联运运输问题、 充电车辆路径规划EVRP、 双层车辆路径规划2E-VRP、 油电混合车辆路径规划、 船舶航迹规划、 全路径规划规划、 仓储巡逻、公交车时间调度、水库调度优化、多式联运优化等等~5.小众优化类生产调度、经济调度、装配线调度、充电优化、车间调度、发车优化、水库调度、三维装箱、物流选址、货位优化、公交排班优化、充电桩布局优化、车间布局优化、集装箱船配载优化、水泵组合优化、解医疗资源分配优化、设施布局优化、可视域基站和无人机选址优化、背包问题、 风电场布局、时隙分配优化、 最佳分布式发电单元分配、多阶段管道维修、 工厂-中心-需求点三级选址问题、 应急生活物质配送中心选址、 基站选址、 道路灯柱布置、 枢纽节点部署、 输电线路台风监测装置、 集装箱调度、 机组优化、 投资优化组合、云服务器组合优化、 天线线性阵列分布优化、CVRP问题、VRPPD问题、多中心VRP问题、多层网络的VRP问题、多中心多车型的VRP问题、 动态VRP问题、双层车辆路径规划2E-VRP、充电车辆路径规划EVRP、油电混合车辆路径规划、混合流水车间问题、 订单拆分调度问题、 公交车的调度排班优化问题、航班摆渡车辆调度问题、选址路径规划问题、港口调度、港口岸桥调度、停机位分配、机场航班调度、泄漏源定位、冷链、时间窗、多车场等、选址优化、港口岸桥调度优化、交通阻抗、重分配、停机位分配、机场航班调度、通信上传下载分配优化、微电网优化、无功优化、配电网重构、储能配置、有序充电、MPPT优化、家庭用电、电/冷/热负荷预测、电力设备故障诊断、电池管理系统BMSSOC/SOH估算粒子滤波/卡尔曼滤波、 多目标优化在电力系统调度中的应用、光伏MPPT控制算法改进扰动观察法/电导增量法、电动汽车充放电优化、微电网日前日内优化、储能优化、家庭用电优化、供应链优化\智能电网分布式能源经济优化调度虚拟电厂能源消纳风光出力控制策略多目标优化博弈能源调度鲁棒优化等等均可~6.原创改进优化算法适合需要创新的同学原创改进2025年的波动光学优化算法WOO以及三国优化算法TKOA、白鲸优化算法BWO等任意优化算法均可保证测试函数效果一般可直接核心