1. 项目概述与核心价值最近在折腾一个挺有意思的交叉领域项目用量子退火来优化KAN网络。简单来说就是把一个新兴的神经网络架构Kolmogorov-Arnold Networks KAN的权重优化问题转化成一个量子退火机“看得懂”的二次无约束二进制优化问题然后丢给量子硬件去求解。这么做的直接好处是一次量子退火过程就能完成整个网络的权重优化而不是像传统梯度下降那样需要成百上千次的迭代更新。更妙的是我们引入了一种“快速重训练”机制当新数据到来时模型可以基于之前的状态快速调整完全不需要重新处理旧数据这在数据流不断变化的动态场景里简直是“神器”。这个想法的价值在哪如果你做过机器学习项目尤其是那些模型需要频繁更新、或者数据是实时流式产生的场景一定对漫长的训练时间深恶痛绝。传统的反向传播算法每来一批新数据都得把整个数据集或者至少一个批次重新过一遍网络计算梯度再更新权重。数据量一大或者模型复杂一点这个过程就变得非常耗时。我们的方法核心是将优化问题的规模与训练样本数解耦。无论你有1万个样本还是100万个样本需要量子退火机求解的QUBO问题规模是固定的只取决于网络的结构比如用了多少控制点。预处理阶段我们可以把整个数据集“压缩”成一个精简的表示极大地减少了前向传播的计算量。量子退火本身的理论运行时间极短微秒级这使得整个训练和重训练过程获得了数量级的速度提升。2. 核心思路与方案选型2.1 为什么是KAN和量子退火选择KAN网络作为优化对象并非偶然。KAN的核心思想是用可学习的、光滑的基函数比如样条来替代传统多层感知机中的固定激活函数和线性权重。这使得KAN能以更少的参数表达更复杂的函数并且在某些任务上具有更好的可解释性。然而KAN的训练通常比MLP慢因为其基函数的参数优化更为复杂。量子退火是一种专门用于解决组合优化问题的量子计算范式。它通过将优化问题映射为一个物理系统的能量最低态基态寻找过程来工作。D-Wave等公司的量子退火机特别擅长求解QUBO问题。我们的核心洞察在于KAN网络的权重优化可以被精确地重新表述为一个QUBO问题。一旦完成这个映射量子退火机就能以其天然的并行性在庞大的解空间中同时探索一次性找到近似全局最优的权重组合而不是像梯度下降那样沿着损失函数的曲面一点点“爬行”。2.2 从连续优化到离散QUBO关键转换传统神经网络的权重是连续值。要让量子退火机处理第一步是离散化。我们采用基数2编码将每个连续的权重在贝塞尔曲线中体现为控制点用一组二进制变量来表示。例如一个权重值x_i可以近似表示为x_i ≈ Σ_{l-m}^{m} (2^l * q_{i,l})其中q_{i,l}是取值为0或1的二进制变量。但这只是第一步。更大的挑战在于一个多层KAN的前向计算过程本质上是一个嵌套的复合函数。当我们将这个复合函数展开并代入离散化的权重后目标函数如均方误差MSE会变成一个关于这些二进制变量的高次多项式。而QUBO问题要求目标函数必须是这些二进制变量的二次型。这就引出了第二个关键技术处理高阶项。展开后的目标函数中会出现三个或更多二进制变量相乘的项例如q_a * q_b * q_c。这超出了QUBO的二次范畴形成了一个高阶无约束二进制优化问题。为了解决这个问题我们引入了辅助变量。例如我们可以引入一个新的二进制变量V_aux并强制它等于q_a * q_b。通过在QUBO目标函数中添加一个惩罚项Penalty w * (q_a * q_b - 2*V_aux*q_a - 2*V_aux*q_b 3*V_aux)并赋予一个足够大的惩罚系数w就能在优化中迫使V_aux的行为与q_a * q_b一致。通过递归地应用这个技巧任何高阶问题都能被“降次”为等价的二次问题。实操心得辅助变量的代价引入辅助变量是解决HUBO到QUBO转换的经典方法但它直接增加了所需量子比特的数量。在我们的实验中对于一个中等复杂度的KAN辅助变量的数量可能远超原始变量。这成为当前量子硬件量子比特数有限下模型规模的主要限制。因此在设计网络结构如贝塞尔曲线的阶数时必须在表达能力和问题规模之间做精细的权衡。不是阶数越高越好过高的阶数会导致辅助变量爆炸反而可能因为当前量子硬件的噪声和连接限制让退火机更难找到好解。2.3 为什么选择贝塞尔曲线作为基函数原文尝试了多种样条基函数如B样条、傅里叶样条等。对于单层KAN它们都能很好地被转化为QUBO问题。然而对于多层KAN贝塞尔曲线展现出了独特的优势。关键在于连续可微性和可展开性。一个n阶贝塞尔曲线B(t)可以完全展开为关于参数t和控制点P_i的多项式形式B(t) Σ_{i0}^{n} C(n,i) * (1-t)^{n-i} * t^i * P_i。这个展开式是全局连续可微的并且每一项都是控制点P_i的线性函数。当我们将离散化的控制点即二进制变量代入并进行多层复合时最终得到的目标函数虽然复杂但其每一项仍然是这些二进制变量的多项式。更重要的是通过上述的辅助变量技巧我们可以系统性地将其降至二次。相比之下其他样条基函数在多层复合时可能会引入条件判断如分段函数的边界或无法完全展开为多项式这使得它们难以被严格地转化为纯粹的二次型QUBO问题。因此贝塞尔曲线因其数学形式上的“友好”成为了实现可量子优化的多层KAN的唯一可行选择在当前方法框架下。3. 算法实现与核心步骤拆解3.1 整体流程框架整个量子优化KAN的流程可以概括为以下四个核心阶段下图清晰地展示了从数据准备到量子求解的完整闭环flowchart TD A[输入: 训练数据集] -- B[阶段一: 问题构建] subgraph B [阶段一: 问题构建] B1[定义KAN网络结构br层数、节点、贝塞尔曲线阶数] B2[将连续权重控制点br离散化为二进制变量] B3[将网络前向计算过程br展开为二进制变量多项式] B4[将损失函数如MSEbr表达为二进制变量的高阶多项式] end B -- C[阶段二: QUBO/HUBO公式化] subgraph C [阶段二: QUBO/HUBO公式化] C1{检查多项式阶数} C2[“引入辅助变量br将高阶项降至二次”] C3[构建最终的QUBO矩阵 Q] end C -- D[阶段三: 输入数据“压缩”] subgraph D [阶段三: 输入数据“压缩”] D1[“分析QUBO目标函数结构:br常数 * 已知数组 * 未知变量”] D2[“预计算并求和“已知数组”br得到“压缩”标量值”] D3[用“压缩”标量替代原始数据集br执行单次前向传播] end D -- E[阶段四: 量子退火求解] subgraph E [阶段四: 量子退火求解] E1[将QUBO矩阵Q提交至br量子退火机如D-Wave] E2[退火机寻找使能量br最小的二进制变量组合] E3[将最优二进制解解码br为连续权重控制点] end E -- F[输出: 训练好的KAN模型]3.2 核心步骤详解与代码示意步骤一定义网络与离散化首先你需要确定KAN的结构例如[2, 3, 1]表示一个三层网络输入层2个节点隐藏层3个节点输出层1个节点。每个连接上的可学习函数都是一个贝塞尔曲线。接着为每个贝塞尔曲线的每个控制点确定离散化精度。例如决定用5个二进制变量m2表示从2^-2到2^2来表示一个控制点。# 伪代码示意定义网络和离散化方案 network_shape [2, 3, 1] bezier_degree 2 # 所有贝塞尔曲线使用二阶 bits_per_control_point 5 # 计算总变量数总控制点数 * bits_per_control_point 辅助变量数后续确定步骤二符号展开与QUBO矩阵构建这是最复杂的一步。你需要用符号计算可以使用SymPy库将整个多层KAN的前向计算表达式y_pred f(x, q)完全展开其中q是所有二进制变量的向量。然后将均方误差损失MSE (1/N) * Σ (y_true - y_pred)^2也展开成关于q的巨大多项式。# 伪代码示意符号展开高度简化 import sympy as sp # 定义二进制变量 q sp.symbols(q0:100) # 假设有100个二进制变量 # 定义输入x和真实输出y_true为符号对于构建通用QUBO矩阵 x_sym sp.symbols(x) y_true_sym sp.symbols(y_true) # 根据网络结构构建y_pred的符号表达式这里省略复杂的贝塞尔曲线复合过程 # y_pred_expr ... (一个关于x_sym和q的巨型表达式) # 构建MSE的符号表达式针对单个样本 loss_expr (y_true_sym - y_pred_expr)**2 # 将loss_expr展开并整理成关于q的多项式 poly sp.expand(loss_expr)展开后你会得到一个形如Σ c_ijk... * q_i * q_j * q_k * ...的多项式。你需要遍历所有项识别出阶数大于2的项如q_i * q_j * q_k。对于每一个这样的高阶项引入一个新的辅助变量V_aux并按照前面提到的惩罚项公式将其增广到目标函数中。这个过程是系统性的但非常繁琐通常需要编写自动化脚本完成。最终所有项包括原始二次项、一次项和新增的惩罚项都会被整合目标函数被重写为标准的QUBO形式f(q) Σ_i Q_ii * q_i Σ_{ij} Q_ij * q_i * q_j。这里的Q矩阵就是我们需要提交给退火机的QUBO矩阵。注意事项惩罚系数w的选择惩罚系数w的设定至关重要。如果w太小惩罚项约束力不足辅助变量可能不满足V_aux q_i * q_j的关系导致求解结果错误。如果w太大可能会掩盖原始优化目标使退火机过度关注满足约束而忽略了最小化原始损失。一个经验法则是将w设置为原始QUBO矩阵中最大系数绝对值的15到25倍。在实际操作中可能需要在小规模问题上进行几次调优来确定合适的范围。步骤三输入数据“压缩”观察QUBO目标函数的构成对于固定数据集y_true和x是已知的。在展开的多项式中每一项都可以因式分解为(常数因子) * (已知数据构成的系数) * (二进制变量组合)。关键的一步是我们可以在开始优化之前就对整个数据集进行预计算将这些“已知数据构成的系数”求和合并成一个单一的标量值。例如假设有一项是(q_a * q_b) * Σ_{k1}^{N} (x_k^2)。我们不需要在每次评估目标时都计算Σ x_k^2而是在预处理阶段一次性算出这个总和S Σ x_k^2。那么这一项在目标函数中就变成了S * (q_a * q_b)。这个过程就是“压缩”。它把对N个样本的循环求和提前压缩成了几个标量值。这使得后续的“前向传播”计算量从O(N)降低到了O(1)与数据集大小无关只与网络结构有关。步骤四量子退火求解与解码将构建好的QUBO矩阵Q提交给量子退火机如通过D-Wave的Ocean SDK。退火机会进行多次读取返回一组组二进制变量的解{q}。我们需要从这些解中选出能量最低即目标函数值最小的一组。# 伪代码示意使用D-Wave Ocean SDK提交问题 from dwave.system import DWaveSampler, EmbeddingComposite import dimod # 假设我们已经构建了QUBO矩阵的上三角形式存储为字典 qubo_dict # 例如{(i,i): linear_bias, (i,j): quadratic_coupling} bqm dimod.BinaryQuadraticModel.from_qubo(qubo_dict) # 连接到退火机实际使用需要配置API token和solver sampler EmbeddingComposite(DWaveSampler()) sampleset sampler.sample(bqm, num_reads1000) # 读取1000次 # 获取最佳解 best_sample sampleset.first.sample最后根据最佳解中的二进制变量取值利用我们之前定义的基数2编码规则反向解码出每个贝塞尔曲线的连续控制点值。这样一个训练好的KAN模型就得到了。3.3 快速重训练机制实现快速重训练是本研究的一大亮点。其核心思想是增量更新QUBO目标函数。初始训练在拥有初始数据集D_old时我们按照上述流程构建QUBO问题并求解得到最优权重q_opt。同时我们将“压缩”后的目标函数状态OBJ_old即所有那些由D_old计算出的标量系数之和保存下来。新数据到来当新数据集D_new到达时我们不需要重新处理D_old。我们加载之前保存的KAN网络结构展开式和OBJ_old。增量构建仅对D_new执行一次“压缩”前向传播计算出由D_new贡献的标量系数之和记为OBJ_new。合并与求解新的总目标函数为OBJ_total OBJ_old OBJ_new。基于这个更新后的OBJ_total我们再次调用量子退火机求解。由于问题规模变量数没有变只是QUBO矩阵Q中的系数发生了更新而量子退火单次运行时间极短因此重训练速度极快。权重更新解码退火结果得到适应新旧数据联合分布的新权重。这个过程避免了在经典重训练中必须将D_old和D_new合并后重新进行多轮epoch训练的巨大开销。理论上重训练的时间成本接近于单次量子退火的时间加上对新数据的一次前向传播压缩计算这在数据流频繁更新的场景下优势巨大。4. 实验结果分析与避坑实录4.1 性能对比数据解读我们在多个分类和回归任务上对比了量子退火优化器包括纯量子退火和混合量子退火、模拟退火以及经典的基于梯度的优化器Adam SGD AdaGrad。分类任务Circle/Moon数据集使用单层KAN[2,1]。结果显示量子退火优化得到的模型在准确率、精确率、召回率等指标上与传统优化器结果相当。但在训练时间上量子方法比梯度下降类优化器快12.5倍以上比模拟退火快近23倍。这说明在可解的问题规模内量子退火在保持性能的同时实现了显著的加速。回归任务对于更复杂的多层KAN回归任务由于变量数增多我们使用了混合量子退火器结合了经典和量子计算资源。即使混合求解器每次求解需要约3秒远长于纯量子退火的微秒级在进行了四轮增量重训练后其总时间仍然仅为梯度下降优化器完成一轮训练所需时间的八分之一。对于另一个回归任务纯量子退火器的初始训练速度比梯度下降快32倍而重训练时间仅为后者的1%。规模与噪声的挑战在第三个更复杂的回归任务中变量数超过200当前量子退火机由于量子比特数量有限、噪声较高以及链断裂等问题难以稳定地编码和求解该问题。模拟退火在允许足够长的运行时间后能找到解。一个有趣的发现是盲目增加贝塞尔曲线的阶数即增加模型灵活性有时反而会导致优化结果变差。这是因为更高的阶数意味着更多的变量和更复杂的相互作用在当前有噪的中规模量子硬件上更可能陷入非最优解。这提示我们在NISQ时代模型设计需要与硬件约束相匹配并非越复杂越好。4.2 实操中遇到的典型问题与解决方案问题1QUBO矩阵规模爆炸当KAN层数增加或贝塞尔曲线阶数提高时所需的二进制变量和辅助变量数量会急剧增长导致QUBO矩阵维度爆炸超出当前量子退火机的硬件限制。排查与解决模型简化从极小的网络开始如[1,1,1]验证流程再逐步增加复杂度。精度权衡减少每个控制点的二进制表示位数bits_per_control_point。虽然这会降低权重精度但能线性减少变量数。需要在精度和可求解性之间找到平衡点。问题分解研究将大型QUBO问题分解成多个较小的、可独立求解的子问题的方法但这需要针对KAN结构设计特定的分解策略。问题2退火结果不稳定每次返回的解差异大这是当前NISQ时代量子硬件的通病主要由量子噪声和退火过程中的随机性导致。排查与解决增加读取次数提交任务时设置num_reads1000或更高从大量候选解中选取能量最低、出现频率最高的解作为最终输出。退火参数调优调整退火时间表Annealing Schedule。有时较长的退火时间或加入暂停pause有助于找到更好的基态。D-Wave系统允许自定义退火路径。后处理对退火返回的多个低能量解进行局部经典优化如使用模拟退火进行“精炼”这通常是混合求解器的一部分。结果验证由于量子计算的非确定性对于关键应用建议在相同条件下多次运行整个训练流程观察模型性能的统计稳定性。问题3“压缩”预处理计算耗时过长虽然“压缩”将迭代中的计算移到了预处理阶段但当数据集极大时符号展开和系数预计算本身可能成为瓶颈。排查与解决代码优化使用高效的符号计算库如SymPy的lambdify将表达式转换为NumPy函数并利用numba或JIT编译加速循环。我们的实验表明代码层面的优化潜力巨大理论上的加速优势需要高效的实现来兑现。备忘录模式在计算“压缩”系数时大量中间项被重复计算。实现一个缓存系统备忘录存储已计算过的项可以大幅减少计算量。分批压缩对于超大数据集可以考虑先对数据进行聚类或采样生成一个代表性的小子集进行“压缩”计算虽然会引入近似但能极大提速。问题4快速重训练后模型性能下降当新数据D_new的分布与旧数据D_old差异很大时简单的目标函数叠加OBJ_old OBJ_new可能不足以让模型很好地适应新分布导致在新数据上性能下降甚至遗忘旧知识。排查与解决验证集加权在初始构建目标函数时就引入一个加权的验证集损失项如原文公式7。这相当于一种内置的正则化让模型在训练时就不至于过拟合到初始数据上为未来的分布漂移留出一定的适应空间。动态加权叠加不要简单地将OBJ_old和OBJ_new以1:1权重相加。可以引入一个遗忘因子α (0α1)采用OBJ_total α * OBJ_old OBJ_new。α越小模型对新数据的关注度越高。这需要根据数据流的变化剧烈程度来调整。定期全量训练将快速重训练作为高频更新的手段但同时定期例如每天或每周用累积的全部数据做一次完整的重新训练以校准模型状态。5. 未来展望与工程化思考这项工作展示了量子退火在优化特定类型神经网络上的可行性和速度潜力特别是在快速重训练这一细分场景下优势明显。但它仍处于早期阶段距离大规模实用还有距离。硬件依赖与演进当前最大的瓶颈是量子硬件的规模和质量。全连接量子退火机的出现将能直接减少对辅助变量的需求实现物理量子比特与逻辑变量的一一对应从而支持更大网络的优化。随着量子比特数量的增加和保真度的提升可解决的问题规模将不断扩大。算法与模型的扩展本文的方法为“可量子优化的机器学习模型”提供了一个范式。未来的研究可以探索其他基函数寻找除了贝塞尔曲线外其他同样满足“可展开为多项式”条件的基函数以丰富KAN的表达能力。其他模型尝试将QUBO优化框架应用于其他结构相对固定、参数可离散化的机器学习模型如某些类型的贝叶斯网络、小规模的Transformer组件等。基于门的量子计算探索在通用量子计算机上通过量子近似优化算法或变分量子算法来实现类似的优化可能具有更好的灵活性和可扩展性。工程化落地的考量要将这套方案用于实际生产环境需要构建一个完整的流水线包括自动化的网络结构到QUBO的编译器、高效的“压缩”预处理模块、与云量子硬件或高性能模拟器的稳定接口、以及重训练状态管理服务。此外还需要开发一套基准测试明确在什么样的数据规模、模型复杂度、更新频率下量子优化方案能带来具有成本效益的优势。从我个人的实验体会来看最大的启发是跨层思维的价值。将机器学习中的连续参数优化转化为组合优化中的离散搜索问题再映射到物理系统的能量最小化过程这条路径打通了不同领域之间的壁垒。虽然当前受限于硬件很多实验只能在玩具规模的例子上进行但其中蕴含的“一次求解”和“增量更新”的思想对于经典机器学习算法设计也有借鉴意义。例如能否在经典计算中模拟这种“压缩-更新”的机制来加速某些场景下的在线学习这个方向的探索或许比等待量子硬件成熟更有近期的现实意义。